Jak narysować równanie kwadratowe: 10 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-02-02 02:08

Na wykresie równania kwadratowe postaci topór² + bx + c lub a(x-h)² + k dać gładką krzywą w kształcie litery U lub odwrotną w kształcie litery U zwaną parabolą. Narysowanie równania kwadratowego polega na znalezieniu jego wierzchołka, kierunku i często jego punktów przecięcia xiy. W przypadku stosunkowo prostych równań kwadratowych może wystarczyć również wprowadzenie zakresu wartości x i wykreślenie krzywej na podstawie otrzymanych punktów. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć.

Kroki

Krok 1. Określ, jaką masz formę równania kwadratowego

Równanie kwadratowe można zapisać w trzech różnych formach: formie standardowej, formie wierzchołkowej i formie kwadratowej. Możesz użyć dowolnej formy do wykreślenia równania kwadratowego; proces tworzenia wykresów jest nieco inny. Jeśli odrabiasz zadanie domowe, zwykle otrzymasz go w jednej z tych dwóch form – innymi słowy, nie będziesz mógł wybrać, więc najlepiej jest zrozumieć obie. Dwie formy równania kwadratowego to:

• Forma standardowa.

  W tej postaci równanie kwadratowe jest zapisane jako: f(x) = ax² + bx + c gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest równe zero.

  Na przykład dwa równania kwadratowe w postaci standardowej to f(x) = x² + 2x + 1 i f(x) = 9x² + 10x -8.

• Forma wierzchołka.

  W tej postaci równanie kwadratowe jest zapisane jako: f(x) = a(x - h)² + k gdzie a, h i k są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest równe zeru. Forma wierzchołka jest tak nazwana, ponieważ h i k bezpośrednio dają wierzchołek (punkt centralny) twojej paraboli w punkcie (h, k).

  Dwa równania formy wierzchołkowej to f(x) = 9(x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Aby wykreślić którykolwiek z tych typów równań, musimy najpierw znaleźć wierzchołek paraboli, który jest punktem centralnym (h, k) na „wierzchołku” krzywej. Współrzędne wierzchołka w postaci standardowej podane są wzorem: h = -b/2a i k = f(h), natomiast w postaci wierzchołka h i k są określone w równaniu.

Krok 2. Zdefiniuj swoje zmienne

Aby móc rozwiązać problem kwadratowy, zmienne a, b i c (lub a, h i k) zwykle muszą być zdefiniowane. Średnie zadanie z algebry da ci równanie kwadratowe z wpisanymi zmiennymi, zwykle w formie standardowej, ale czasami w formie wierzchołków.

• Na przykład dla postaci standardowej równanie f(x) = 2x² +16x + 39, mamy a = 2, b = 16 i c = 39.
• Dla postaci wierzchołkowej równanie f(x) = 4(x - 5)² + 12, mamy a = 4, h = 5 i k = 12.

Krok 3. Oblicz godz

W równaniach postaci wierzchołków wartość h jest już podana, ale w równaniach postaci standardowej należy ją obliczyć. Pamiętaj, że dla równań w postaci standardowej h = -b/2a.

• W naszym standardowym przykładzie (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Rozwiązując, stwierdzamy, że h = - 4.
• W naszym przykładzie formy wierzchołkowej (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wiemy, że h = 5 bez robienia matematyki.

Krok 4. Oblicz k

Podobnie jak w przypadku h, k jest już znane w równaniach postaci wierzchołków. W przypadku równań postaci standardowej pamiętaj, że k = f(h). Innymi słowy, możesz znaleźć k, zastępując każde wystąpienie x w równaniu wartością, którą właśnie znalazłeś dla h.

• W naszym standardowym przykładzie ustaliliśmy, że h = -4. Aby znaleźć k, rozwiązujemy nasze równanie za pomocą naszej wartości dla h zastępując x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Krok 7.

• W naszym przykładzie formy wierzchołkowej ponownie znamy wartość k (która wynosi 12) bez konieczności wykonywania matematyki.

Krok 5. Wykreśl swój wierzchołek

Wierzchołkiem twojej paraboli będzie punkt (h, k) - h określa współrzędną x, podczas gdy k określa współrzędną y. Wierzchołek jest centralnym punktem twojej paraboli – albo na samym dole litery „U”, albo na samym szczycie odwróconego „U”. Znajomość wierzchołka jest istotną częścią wykresu dokładnej paraboli - często w szkole, określenie wierzchołka będzie wymaganą częścią pytania.

• W naszym standardowym przykładzie, nasz wierzchołek będzie w (-4, 7). Tak więc nasza parabola osiągnie szczyt 4 spacji na lewo od 0 i 7 spacji powyżej (0, 0). Powinniśmy wykreślić ten punkt na naszym wykresie, pamiętając o oznaczeniu współrzędnych.
• W naszym przykładzie z wierzchołkiem, nasz wierzchołek to (5, 12). Powinniśmy wykreślić punkt 5 spacji po prawej i 12 spacji powyżej (0, 0).

Krok 6. Narysuj oś paraboli (opcjonalnie)

Oś symetrii paraboli to linia przebiegająca przez jej środek, która dzieli ją idealnie na pół. W poprzek tej osi lewa strona paraboli będzie odzwierciedlać prawą stronę. Dla kwadratów postaci ax² + bx + c lub a(x - h)² + k, oś jest linią równoległą do osi y (innymi słowy idealnie pionową) i przechodzącą przez wierzchołek.

W przypadku naszego standardowego przykładu, oś jest linią równoległą do osi y i przechodzącą przez punkt (-4, 7). Chociaż nie jest to część samej paraboli, lekkie zaznaczenie tej linii na wykresie może ostatecznie pomóc ci zobaczyć, jak parabola zakrzywia się symetrycznie

Krok 7. Znajdź kierunek otwierania

Po ustaleniu wierzchołka i osi paraboli, musimy wiedzieć, czy parabola otwiera się w górę czy w dół. Na szczęście jest to łatwe. Jeśli „a” jest dodatnie, parabola otworzy się w górę, a jeśli „a” jest ujemne, parabola otworzy się w dół (tj. zostanie odwrócona do góry nogami).

• Dla naszego standardowego przykładu (f(x) = 2x² +16x + 39), wiemy, że mamy parabolę otwierającą się w górę, ponieważ w naszym równaniu a = 2 (dodatni).
• Dla naszego przykładu formy wierzchołkowej (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wiemy, że mamy również parabolę otwierającą się w górę, ponieważ a = 4 (dodatnie).

Krok 8. W razie potrzeby znajdź i wykreśl x przechwycenia

Często podczas zajęć szkolnych zostaniesz poproszony o znalezienie punktów przecięcia paraboli x (które są jednym lub dwoma punktami, w których parabola styka się z osią x). Nawet jeśli ich nie znajdziesz, te dwa punkty mogą być nieocenione przy narysowaniu dokładnej paraboli. Jednak nie wszystkie parabole mają punkty przecięcia osi X. Jeśli twoja parabola ma wierzchołek otwierający się w górę i ma wierzchołek nad osią x lub jeśli otwiera się w dół i ma wierzchołek poniżej osi x, nie będzie miał żadnych przechwytów x. W przeciwnym razie znajdź przechwycone x za pomocą jednej z następujących metod:

• Po prostu ustaw f(x) = 0 i rozwiąż równanie. Ta metoda może działać w przypadku prostych równań kwadratowych, zwłaszcza w postaci wierzchołków, ale okaże się niezwykle trudna w przypadku bardziej skomplikowanych. Zobacz poniżej przykład

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x-12)² - 4
  • 4 = 4(x-12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 to punkty przecięcia paraboli w osi X.

• Rozłóż swoje równanie na czynniki. Niektóre równania w toporze² + bx + c forma może być łatwo uwzględniona w formie (dx + e)(fx +g), gdzie dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx oraz e × g = c. W tym przypadku twoje przecięcia x są wartościami dla x, które sprawiają, że każdy termin w nawiasach = 0. Na przykład:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • W tym przypadku jedynym punktem przecięcia x jest -1, ponieważ ustawienie x równe -1 spowoduje, że którykolwiek z wyrazów rozłożonych na czynniki w nawiasach będzie równy 0.

• Użyj wzoru kwadratowego. Jeśli nie możesz łatwo rozwiązać swoich przecięć x lub rozłożyć równanie na czynniki, użyj specjalnego równania zwanego równaniem kwadratowym, zaprojektowanego właśnie do tego celu. Jeśli jeszcze nie jest, wprowadź równanie do postaci ax² + bx + c, a następnie wstaw a, b i c do wzoru x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Zauważ, że często daje to dwie odpowiedzi dla x, co jest w porządku - oznacza to po prostu, że twoja parabola ma dwa przecięcia x. Zobacz poniżej przykład:

  • -5x² + 1x + 10 zostaje wstawiony do wzoru kwadratowego w następujący sposób:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) i (-15,18/-10). x przecięcia paraboli są w przybliżeniu x = - 1.318 oraz 1.518
  • Nasz poprzedni przykład formularza standardowego, 2x² + 16x + 39 jest wstawiane do wzoru kwadratowego w następujący sposób:
  • x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Ponieważ znalezienie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej jest niemożliwe, wiemy, że brak przechwytów x istnieją dla tej konkretnej paraboli.

Krok 9. W razie potrzeby znajdź i wykreśl punkt przecięcia y

Chociaż często nie jest konieczne znalezienie punktu przecięcia równania y (punktu, w którym parabola przechodzi przez oś y), w końcu może być to wymagane, zwłaszcza jeśli jesteś w szkole. Ten proces jest dość prosty - po prostu ustaw x = 0, a następnie rozwiąż równanie dla f(x) lub y, co daje wartość y, przy której parabola przechodzi przez oś y. W przeciwieństwie do przecięć x, standardowe parabole mogą mieć tylko jeden przechwycenie y. Uwaga - w przypadku równań postaci standardowej punkt przecięcia y jest w punkcie y = c.

• Na przykład znamy nasze równanie kwadratowe 2x² + 16x + 39 ma punkt przecięcia y w punkcie y = 39, ale można go również znaleźć w następujący sposób:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Punkt przecięcia y paraboli jest w y = 39.

    Jak wspomniano powyżej, punkt przecięcia y jest w punkcie y = c.

• Nasze równanie postaci wierzchołkowej 4(x - 5)² + 12 ma punkt przecięcia y, który można znaleźć w następujący sposób:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Punkt przecięcia y paraboli jest w y = 112.

Krok 10. W razie potrzeby wykreśl dodatkowe punkty, a następnie narysuj wykres

Powinieneś teraz mieć wierzchołek, kierunek, punkt przecięcia z osią x i, być może, punkt przecięcia z osią y dla swojego równania. W tym momencie możesz spróbować narysować swoją parabolę, używając punktów, które masz jako wytyczne, lub możesz znaleźć więcej punktów, aby „wypełnić” swoją parabolę, aby rysowana krzywa była dokładniejsza. Najprostszym sposobem, aby to zrobić, jest po prostu wstawienie kilku wartości x po obu stronach wierzchołka, a następnie wykreślenie tych punktów za pomocą uzyskanych wartości y. Często nauczyciele będą wymagać od ciebie zdobycia określonej liczby punktów, zanim narysujesz swoją parabolę.

• Wróćmy do równania x² + 2x + 1. Wiemy już, że jego jedyny punkt przecięcia x znajduje się w punkcie x = -1. Ponieważ dotyka on punktu przecięcia z osią x tylko w jednym punkcie, możemy wywnioskować, że jego wierzchołek to punkt przecięcia z osią x, co oznacza, że jego wierzchołek to (-1, 0). W rzeczywistości mamy tylko jeden punkt za tę parabolę - za mało, aby narysować dobrą parabolę. Znajdźmy jeszcze kilka, aby upewnić się, że narysujemy dokładny wykres.

  • Znajdźmy wartości y dla następujących wartości x: 0, 1, -2 i -3.
  • Dla 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Nasz punkt to (0, 1).

  • Dla 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Naszym punktem jest (1, 4).

  • Dla -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Nasz punkt to (-2, 1).

  • Dla -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Nasz punkt to (-3, 4).

  • Wykreśl te punkty na wykresie i narysuj krzywą w kształcie litery U. Zauważ, że parabola jest idealnie symetryczna - gdy twoje punkty po jednej stronie paraboli leżą na liczbach całkowitych, zwykle możesz zaoszczędzić sobie trochę pracy, po prostu odbijając dany punkt w poprzek osi symetrii paraboli, aby znaleźć odpowiadający mu punkt po drugiej stronie paraboli.

Wideo - Korzystając z tej usługi, niektóre informacje mogą być udostępniane YouTube

Porady

• Zauważ, że w f(x) = ax² + bx + c, jeśli b lub c równa się zero, te liczby znikają. Na przykład 12x² + 0x + 6 staje się 12x² + 6, ponieważ 0x to 0.
• Zaokrąglaj liczby lub używaj ułamków, zgodnie z zaleceniami nauczyciela algebry. Pomoże to w prawidłowym wykreśleniu równań kwadratowych.