Funkcja wymierna to równanie, które przyjmuje postać y = N(x)/D(x), gdzie N i D są wielomianami. Próba naszkicowania dokładnego wykresu odręcznego może być obszernym przeglądem wielu najważniejszych tematów matematycznych w szkole średniej, od podstawowej algebry po rachunek różniczkowy. Rozważmy następujący przykład: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Kroki
Krok 1. Znajdź punkt przecięcia y
Po prostu ustaw x = 0. Wszystko poza stałymi znika, pozostawiając y = 5/2. Wyrażając to jako parę współrzędnych (0, 5/2) to punkt na wykresie. Narysuj ten punkt.
Krok 2. Znajdź asymptotę poziomą
Long podziel mianownik na licznik, aby określić zachowanie y dla dużych wartości bezwzględnych x. W tym przykładzie dzielenie pokazuje, że y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Dla dużych dodatnich lub ujemnych wartości x, 17/(8 x + 4) zbliża się do zera, a wykres przybliża linię y = (1/2) x - (7/4). Używając przerywanej lub lekko narysowanej linii, narysuj tę linię.
- Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, nie ma dzielenia, a asymptota to y = 0.
- Jeśli deg(N) = deg(D), asymptota jest linią poziomą ze stosunkiem wiodących współczynników.
- Jeśli deg(N) = deg(D) + 1, asymptota jest linią, której nachylenie jest stosunkiem wiodących współczynników.
- Jeżeli deg(N) > deg(D) + 1, to dla dużych wartości | x |, y szybko przechodzi do dodatniej lub ujemnej nieskończoności jako wielomian kwadratowy, sześcienny lub wyższego stopnia. W takim przypadku prawdopodobnie nie warto dokładnie wykreślać ilorazu dzielenia.
Krok 3. Znajdź zera
Funkcja wymierna ma zero, gdy jej licznikiem jest zero, więc ustaw N(x) = 0. W tym przykładzie 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Wyróżnikiem tej kwadratowej jest b 2 - 4 AC = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Ponieważ wyróżnik jest ujemny, N(x), aw konsekwencji f(x), nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wykres nigdy nie przecina osi x. Jeśli znaleziono jakiekolwiek zera, dodaj te punkty do wykresu.
Krok 4. Znajdź pionowe asymptoty
Asymptota pionowa występuje, gdy mianownik wynosi zero. Ustawienie 4 x + 2 = 0 daje pionową linię x = -1/2. Narysuj każdą pionową asymptotę jasną lub przerywaną linią. Jeśli jakaś wartość x powoduje, że zarówno N(x) = 0, jak i D(x) = 0, może istnieć pionowa asymptota lub nie. Jest to rzadkie, ale zapoznaj się ze wskazówkami, jak sobie z tym poradzić, jeśli wystąpi.
Krok 5. Spójrz na pozostałą część podziału w kroku 2
Kiedy jest dodatnia, ujemna czy zerowa? W tym przykładzie licznik reszty to 17, co zawsze jest dodatnie. Mianownik, 4 x + 2, jest dodatni na prawo od pionowej asymptoty i ujemny na lewo. Oznacza to, że wykres zbliża się do asymptoty liniowej z góry dla dużych dodatnich wartości x i od dołu dla dużych ujemnych wartości x. Ponieważ 17/(8 x + 4) nigdy nie może być zerem, ten wykres nigdy nie przecina linii y = (1/2) x - (7/4). Nie dodawaj teraz niczego do wykresu, ale zanotuj te wnioski na później.
Krok 6. Znajdź lokalne ekstrema
Ekstremum lokalne może wystąpić, gdy N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. W przykładzie N'(x) = 4 x - 6 i D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Rozwijanie, łączenie terminów i dzielenie przez 4 listki x 2 + x - 4 = 0. Wzór kwadratowy pokazuje pierwiastki w pobliżu x = 3/2 i x = -5/2. (Różnią się one o około 0,06 od dokładnych wartości, ale nasz wykres nie będzie wystarczająco dokładny, aby martwić się o ten poziom szczegółowości. Wybór przyzwoitego, racjonalnego przybliżenia ułatwia następny krok.)
Krok 7. Znajdź wartości y każdego ekstremum lokalnego
Podłącz wartości x z poprzedniego kroku z powrotem do oryginalnej funkcji wymiernej, aby znaleźć odpowiadające im wartości y. W tym przykładzie f(3/2) = 1/16 i f(-5/2) = -65/16. Dodaj te punkty (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16) do wykresu. Ponieważ dokonaliśmy przybliżenia w poprzednim kroku, nie są to dokładne minima i maksima, ale prawdopodobnie są bliskie. (Wiemy, że (3/2, 1/16) jest bardzo blisko lokalnego minimum. Od kroku 3 wiemy, że y jest zawsze dodatnie, gdy x > -1/2 i znaleźliśmy wartość tak małą jak 1/16, więc przynajmniej w tym przypadku błąd jest prawdopodobnie mniejszy niż grubość linii.)
Krok 8. Połącz kropki i płynnie rozciągnij wykres od znanych punktów do asymptot, uważając, aby zbliżać się do nich z właściwego kierunku
Uważaj, aby nie przecinać osi x z wyjątkiem punktów już znalezionych w kroku 3. Nie przecinaj poziomej lub liniowej asymptoty z wyjątkiem punktów już znalezionych w kroku 5. ekstremum znalezione w poprzednim kroku.
Wideo - Korzystając z tej usługi, niektóre informacje mogą być udostępniane YouTube
Porady
- Niektóre z tych kroków mogą obejmować rozwiązywanie wielomianu wysokiego stopnia. Jeśli nie możesz znaleźć dokładnych rozwiązań za pomocą faktoryzacji, formuł lub innych środków, oszacuj rozwiązania za pomocą technik numerycznych, takich jak metoda Newtona.
- Jeśli wykonasz kroki w kolejności, zwykle nie jest konieczne użycie testów drugiej pochodnej lub podobnych potencjalnie skomplikowanych metod w celu ustalenia, czy wartości krytyczne są lokalnymi maksimami, lokalnymi minimami, czy też nie. Spróbuj najpierw wykorzystać informacje z poprzednich kroków i trochę logiki.
- Jeśli próbujesz to zrobić tylko za pomocą metod przedliczeniowych, możesz zastąpić kroki dotyczące znajdowania ekstremów lokalnych przez obliczenie kilku dodatkowych (x, y) uporządkowanych par między każdą parą asymptot. Alternatywnie, jeśli nie obchodzi cię, dlaczego to działa, nie ma powodu, dla którego uczeń analizy wstępnej nie może wziąć pochodnej wielomianu i rozwiązać N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
-
W rzadkich przypadkach licznik i mianownik mogą mieć wspólny czynnik niestały. Jeśli postępujesz zgodnie z instrukcjami, pojawi się to jako zero i pionowa asymptota w tym samym miejscu. To niemożliwe, a faktycznie dzieje się jedno z następujących:
- Zero w N(x) ma większą krotność niż zero w D(x). Wykres f (x) zbliża się w tym momencie do zera, ale jest tam nieokreślony. Wskaż to otwartym okręgiem wokół punktu.
- Zero w N(x) i zero w D(x) mają równą wielokrotność. Wykres zbliża się do pewnego punktu niezerowego dla tej wartości x, ale jest tam niezdefiniowany. Ponownie zaznacz to otwartym kółkiem.
- Zero w N(x) ma mniejszą krotność niż zero w D(x). Jest tu pionowa asymptota.
