Parabola to wykres funkcji kwadratowej i jest to gładka krzywa w kształcie litery „U”. Parabole są również symetryczne, co oznacza, że można je złożyć wzdłuż linii, tak aby wszystkie punkty po jednej stronie linii zagięcia pokrywały się z odpowiadającymi im punktami po drugiej stronie linii zagięcia. Linia zagięcia, zwana osią symetrii, to pionowa linia przechodząca przez wierzchołek. Każdy punkt na paraboli znajduje się w równej odległości od ustalonego punktu (ognisko) i ustalonej linii prostej (kierownicy). Aby narysować parabolę, musisz znaleźć jej wierzchołek, a także kilka punktów po obu stronach wierzchołka, aby oznaczyć ścieżkę, którą poruszają się punkty.
Kroki
Część 1 z 2: Wykresy paraboli
Krok 1. Zrozum części paraboli
Możesz otrzymać pewne informacje przed rozpoczęciem, a znajomość terminologii pomoże ci uniknąć niepotrzebnych czynności. Oto części paraboli, które musisz znać:
- Skupienie. Stały punkt na wewnętrznej stronie paraboli, który służy do formalnego zdefiniowania krzywej.
- Kierownica. Stała, prosta linia. Parabola to miejsce (seria) punktów, w których każdy punkt znajduje się w równej odległości od ogniska i kierownicy. (Patrz diagram powyżej.)
- Oś symetrii. Jest to linia prosta, która przechodzi przez punkt zwrotny („wierzchołek”) paraboli i jest równoodległa od odpowiednich punktów na dwóch ramionach paraboli.
- Wierzchołek. Punkt, w którym oś symetrii przecina parabolę, nazywamy wierzchołkiem paraboli. Jeśli parabola otwiera się w górę lub w prawo, wierzchołek jest minimalnym punktem krzywej. Jeśli otwiera się w dół lub w lewo, wierzchołek jest punktem maksymalnym.
Krok 2. Poznaj równanie paraboli
Ogólne równanie paraboli to y = ax2+ bx + c. Można go również zapisać w jeszcze bardziej ogólnej postaci y = a(x – h)² + k, ale skupimy się tutaj na pierwszej postaci równania.
- Jeśli współczynnik a w równaniu jest dodatni, parabola otwiera się w górę (w paraboli zorientowanej pionowo), jak litera „U”, a jej wierzchołek jest punktem minimum. Jeśli a jest ujemne, parabola otwiera się w dół i ma wierzchołek w swoim punkcie maksymalnym. Jeśli masz problem z zapamiętaniem tego, pomyśl o tym w ten sposób: równanie z dodatnią wartością wygląda jak uśmiech; równanie z ujemną wartością wygląda jak zmarszczenie brwi.
- Załóżmy, że masz następujące równanie: y = 2x2 -1. Ta parabola będzie miała kształt litery „U”, ponieważ wartość a (2) jest dodatnia.
- Jeśli równanie ma człon y do kwadratu zamiast członu x do kwadratu, parabola będzie zorientowana poziomo i otwarta na boki, w prawo lub w lewo, jak „C” lub „C” do tyłu. Na przykład parabola y2 = x + 3 otwiera się w prawo, jak „C”.
Krok 3. Znajdź oś symetrii
Pamiętaj, że oś symetrii to linia prosta przechodząca przez punkt zwrotny (wierzchołek) paraboli. W przypadku paraboli pionowej (otwierającej się w górę lub w dół) oś jest taka sama jak współrzędna x wierzchołka, czyli wartość x punktu, w którym oś symetrii przecina parabolę. Aby znaleźć oś symetrii, użyj tego wzoru: x = -b/2a.
- W powyższym przykładzie (y = 2x² -1), a = 2 i b = 0. Teraz możesz obliczyć oś symetrii, podstawiając liczby: x = -0 / (2)(2) = 0.
- W tym przypadku oś symetrii wynosi x = 0 (jest to oś y płaszczyzny współrzędnych).
Krok 4. Znajdź wierzchołek
Gdy znasz oś symetrii, możesz wstawić tę wartość do x, aby uzyskać współrzędną y. Te dwie współrzędne dadzą ci wierzchołek paraboli. W takim przypadku należy podłączyć 0 do 2x2 -1, aby uzyskać współrzędną y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Wierzchołek to (0, -1), a parabola przecina oś y na -1.
Współrzędne wierzchołka są czasami nazywane (h, k). W tym przypadku h wynosi 0, a k wynosi -1. Równanie paraboli można zapisać w postaci y = a(x – h)² + k. W tej formie wierzchołek jest punktem (h, k) i nie trzeba wykonywać żadnych działań matematycznych, aby znaleźć wierzchołek poza poprawną interpretacją wykresu
Krok 5. Skonfiguruj tabelę z wybranymi wartościami x
Utwórz tabelę z określonymi wartościami x w pierwszej kolumnie. Ta tabela zawiera współrzędne potrzebne do wykreślenia równania.
- Średnia wartość x powinna być osią symetrii w przypadku paraboli „pionowej”.
- Powinieneś uwzględnić co najmniej dwie wartości powyżej i poniżej środkowej wartości x w tabeli ze względu na symetrię.
- W tym przykładzie umieść wartość osi symetrii (x = 0) na środku tabeli.
Krok 6. Oblicz wartości odpowiednich współrzędnych y
Podstaw każdą wartość x w równaniu paraboli i oblicz odpowiednie wartości y. Wstaw obliczone wartości y do tabeli. W tym przykładzie wartości y są obliczane w następujący sposób:
- Dla x = -2, y oblicza się jako: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Dla x = -1, y oblicza się jako: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Dla x = 0 y oblicza się jako: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Dla x = 1 y oblicza się jako: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Dla x = 2, y oblicza się jako: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Krok 7. Wstaw obliczone wartości y do tabeli
Teraz, gdy znalazłeś co najmniej pięć par współrzędnych dla paraboli, jesteś prawie gotowy do jej wykreślenia. Na podstawie Twojej pracy masz teraz następujące punkty: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Pamiętaj, że parabola jest odbita (symetrycznie) względem osi symetrii. Oznacza to, że współrzędne y punktów znajdujących się bezpośrednio w osi symetrii od siebie będą takie same. Współrzędne y dla współrzędnych x -2 i +2 wynoszą 7; współrzędne y dla współrzędnych x -1 i +1 wynoszą 1 i tak dalej.
Krok 8. Wykreśl punkty tabeli na płaszczyźnie współrzędnych
Każdy wiersz tabeli tworzy parę współrzędnych (x, y) na płaszczyźnie współrzędnych. Wykreśl wszystkie punkty używając współrzędnych podanych w tabeli.
- Oś x jest pozioma; oś y jest pionowa.
- Liczby dodatnie na osi y są powyżej punktu (0,0), a liczby ujemne na osi y są poniżej punktu (0,0).
- Liczby dodatnie na osi x znajdują się na prawo od punktu (0, 0), a liczby ujemne na osi x na lewo od punktu (0, 0).
Krok 9. Połącz punkty
Aby wykreślić parabolę, połącz punkty wykreślone w poprzednim kroku. Wykres w tym przykładzie będzie wyglądał jak U. Połącz punkty za pomocą lekko zakrzywionych (a nie prostych) linii. Stworzy to najdokładniejszy obraz paraboli (która jest przynajmniej lekko zakrzywiona na całej swojej długości). Na obu końcach paraboli możesz narysować strzałki skierowane od wierzchołka, jeśli chcesz. Wskazuje to, że parabola trwa w nieskończoność.
Część 2 z 2: Przesuwanie wykresu paraboli
Jeśli potrzebujesz skrótu do przesuwania paraboli bez konieczności ponownego znajdowania jej wierzchołka i ponownego rysowania kilku punktów na niej, musisz zrozumieć, jak czytać równanie paraboli i nauczyć się przesuwać je w pionie lub poziomie. Zacznij od podstawowej paraboli: y = x2. Ma swój wierzchołek (0, 0) i otwiera się w górę. Punkty na nim to (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) i (2, 4). Możesz przesunąć parabolę na podstawie jej równania.
Krok 1. Przesuń parabolę w górę
Rozważ równanie y = x2 +1. To przesuwa oryginalną parabolę w górę o 1 jednostkę. Wierzchołek jest teraz (0, 1) zamiast (0, 0). Zachowa ona dokładny kształt oryginalnej paraboli, ale każda współrzędna y zostanie przesunięta w górę o 1 jednostkę. Tak więc zamiast (-1, 1) i (1, 1) wykreślamy (-1, 2) i (1, 2).
Krok 2. Przesuń parabolę w dół
Weź równanie y = x2 -1. Przesuwamy oryginalną parabolę w dół o 1 jednostkę, tak aby wierzchołek miał teraz (0, -1) zamiast (0, 0). Nadal będzie miała ten sam kształt oryginalnej paraboli, ale każda współrzędna y zostanie przesunięta w dół o 1 jednostkę. Tak więc zamiast (-1, 1) i (1, 1) na przykład wykreślamy (-1, 0) i (1, 0).
Krok 3. Przesuń parabolę w lewo
Rozważ równanie y = (x + 1)2. To przesuwa oryginalną parabolę o jedną jednostkę w lewo. Wierzchołek jest teraz (-1, 0) zamiast (0, 0). Zachowuje kształt oryginalnej paraboli, ale każda współrzędna x jest przesunięta o jedną jednostkę w lewo. Zamiast na przykład (-1, 1) i (1, 1) wykreślamy (-2, 1) i (0, 1).
Krok 4. Przesuń parabolę w prawo
Rozważ równanie y = (x - 1)2. To jest oryginalna parabola przesunięta o jedną jednostkę w prawo. Wierzchołek jest teraz (1, 0) zamiast (0, 0). Zachowuje kształt oryginalnej paraboli, ale każda współrzędna x zostanie przesunięta o jedną właściwą jednostkę. Zamiast na przykład (-1, 1) i (1, 1) wykreślamy (0, 1) i (2, 1).
